对方挑衅被打，鉴定结果是轻伤的，公安机关应当立案侦查，追究打人者的刑事责任。若公安机关不予立案，可以向人民法院提起刑事自诉，要求追究打人者的刑事责任。不管是公诉还是自诉，都可以同时提起附带民事诉讼，要求对方赔偿医疗等费用。对于寻衅滋事一方，可能涉嫌寻衅滋事罪或故意伤害罪，应该承担刑事责任。对于另一方而言，如果构成正当防卫的，不承担法律责任；防卫过当的，应当按故意伤害罪承担刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。
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责任的承担应按过失的大小来划分，需要根据具体情况来定，建议委托律师来保障您的最大权益。
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责任承担需要结合双方过错来定，若两人以上没有共同故意或者共同过失，但其分别实施的数个行为间接结合发生同一损害后果的，应当根据过失大小或者原因力比例各自承担相应的赔偿责任。

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